Progressão Aritmétrica - Resumão

Progressão Aritmética

Definição

É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo. É a soma do anterior
com uma constante, denominada razão. Esta razão e representada pela letra r.

Elementos

a1 - 1o termo

an - termo genérico (ou n-ésimo termo)

r - razão

n - número de termos

Sn - soma dos termos

TM - termo médio

Fórmula do termo Geral da P.A.

a_n = a₁ + (n-1).r



Interpolação Aritmética

Interpolar ou inserir 'k' meios aritméticos entre os termos a₁ e a_n significa formar uma progressão aritmática de 'k + 2' termos, onde
a₁ e a_n são extremos.

Soma dos Termos da P.A.


A soma dos termos de uma P.A. limitada (ou finita) é igual ao produto da semi-soma dos extremos pelo número de termos.

Termo Médio de uma P.A.

Consequência da Fórmula da
Soma

P.A. de número ÍMPAR de
termos S_n = TM .
S_i - S_p = TM
onde: S_i = a1 + a3+ a5 + ... e
S_p = a2 + a4 + a6 + ...

P.A. de número PAR de
termos: 

Representação de 3 termos na P.A.

Quando três termos desconhecidos estão em progressão aritmética, pode-se usar o seguinte artifício:

(x-r) ; x ; (x+r)

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Exercícios - PROGRESSÃO ARITMÉTICA - P.A.

1-) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...).

3-) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...).

5-) Ache 0 5^o termo da P.A. (a+b ; 3a-2b ; ...).

7-) Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44 ?

9-) Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último é 16 ?

11-) Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39 ?

13-) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5 ?

15-) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.

17-) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500.

19-) (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?

Questão 1

Dados: a₁ = 2 ; r = 7 - 2 = 5 ; a_n = ? ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

a_n = 2 + (n -1).5 ==> a_n = 2 + 5n - 5 ==> a_n = 5n - 3

Resposta: a_n = 5n - 3

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Questão 3

Dados: a₁ = 4 ; r = 10 - 4 = 6 ; a_n = a₁₅ = ? ; n = 15

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

a₁₅ = 4 + (15 -1).6 ==> a₁₅ = 4 + 14.6 ==> a₁₅ = 4 + 84 ==> a₁₅ = 88

Resposta: a₁₅ = 88

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Questão 5

Dados: a₁ = a+b ; r = (3a-2b)-(a+b) ==> r = 3a-2b - a-b ==> r = 2a-3b
a_n = a₅ = ? ; n = 5

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

a₅ = a+b + (5-1).(2a-3b) ==> a₅ = a+b + 4.(2a-3b) ==> a₅ = a+b +8a-12b ==> a₅ = 9a - 11b

Resposta: a₅ = 9a - 11b

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Questão 7

Dados: a₁ = 4 ; r = 5 ; a_n = 44 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

44 = 4 + (n-1).5 ==> 44 = 4 + 5n -5 ==> 44 -4 + 5 = 5n ==> 45 = 5n ==> 45/5 = n ==> 9 = n ou n = 9

Resposta: 9^a posição

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Questão 9

Dados: a₁ = -5 ; r = 3 ; a_n = 16 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

16 = -5 + (n-1).3 ==> 16 = -5 + 3n -3 ==> 16 = 3n - 8 ==> 16 + 8 = 3n ==> 24 = 3n ==> 24/3 = n ==> 8 = n

Resposta: n = 8

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Questão 12

Dados:P.A.(105,...,994); a₁ = 105 ; a_n = 994 ; r = 7 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

994 = 105 + (n-1).7 ==> 994 = 105 + 7n - 7 ==> 994 = 105 - 7 + 7n ==> 994 = 98 + 7n ==> 994 - 98 = 7n ==>
==> 896 = 7n ==> 896/7 = n ==> 128 = n

Resposta: n = 128

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Questão 14

1-) Calculamos a quantidade de números, entre 100 e 500, que são divisíveis por 8.

Dados:P.A.(104,...,496); a₁ = 104 ; a_n = 496 ; r = 8 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

496 = 104 + (n-1).8 ==> 496 = 104 + 8n - 8 ==> 496 = 96 + 8n ==> 496 - 96 = 8n ==> 400 = 8n ==> 400/8 = n ==> 50 = n

2-) Calculamos a quantidade de todos os números, entre 100 e 500.

Dados:P.A.(100,...,500); a₁ = 100 ; a_n = 500 ; r = 1 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

500 = 100 + (n-1).1 ==> 500 = 100 + n - 1 ==> 500 = 99 + n ==> 500 - 99 = n ==> 401 = n

3-) Calculamos o número de termos que não são divisíveis por 8, fazendo: n = 401 - 50 = 351

Resposta: n = 351

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Questão 16

Dados:P.A.(2,...,66); a₁ = 2 ; a_n = 66 ; r = 8 ; n = ?

Resolução:a_n = a₁ + (n-1).r

66 = 2 + (n-1).8 ==> 66 = 2 + 8n - 8 ==> 66 = 8n - 6 ==> 66 + 6 = 8n ==> 72 = 8n ==> 72/8 = n ==> 9 = n

Subtraímos 2 termos dos 9 termos encontrados: n = 9 - 2 = 7.

Resposta: n = 7

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Questão 18

P.A.(3,..,88)

Dados: a₁ = 3 ; r = ? ; a_n = a₁₈ = 88 ; n = 18

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

a₁₈ = 3 + (18-1).r ==> 88 = 3 + 17.r ==> 88 - 3 = 17r ==> 85 = 17r ==> 85/17 = r ==> 5 = r

Calculamos as 16 interpolações:

a₂= a₁ + r ==>a₂ = 3+5 = 8

a₃= a₂ + r ==>a₃ = 8+5 = 13

a₄= a₃ + r ==>a₄ = 13+5 =18

a₅= a₄ + r ==>a₅ =18+5 =23

a₆= a₅ + r ==>a₆ =23+5 =28

a₇= a₆ + r ==>a₇ =28+5 =33

a₈= a₇ + r ==>a₈ =33+5 =38

a₉= a₈ + r ==>a₉ =38+5 =43

a₁₀= a₉+ r ==>a₁₀ =43+5 =48

a₁₁= a₁₀+ r ==>a₁₁ =48+5 =53

a₁₂= a₁₁+ r ==>a₁₂ =53+5 =58

a₁₃= a₁₂+ r ==>a₁₃ =58+5 =63

a₁₄= a₁₃+ r ==>a₁₄ =63+5 =68

a₁₅= a₁₄+ r ==>a₁₅ =63+5 =73

a₁₆= a₁₅+ r ==>a₁₆ =73+5 =78

a₁₇= a₁₆+ r ==>a₁₇ =78+5 =83

Resposta: km 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83

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Questão 20

P.A.(6530, _ , 23330)
Dados: a₁ = 6530 ; r = ? ; a_n = 23330 ; n = 3

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

a₃ = 6530 + (3-1).r ==> 23330 = 6530 + 2.r ==> 23330 - 6530 = 2r ==> 16800 = 2r ==> 16800/2 = r ==> 8400 = r

a₂ = a₁ + r ==> a₂ = 6530 + 8400 ==> a₂ = 14930

P.A.(6530, 14930, 23330, _ , _, _)
Dados: a₁ = 6530 ; r = 8400 ; a_n = a₆ = ? ; n = 6

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

a₆ = 6530 + (6-1).8400 ==> a₆ = 6530 + 5.8400 ==> a₆ = 6530 + 42000 ==> a₆ = 48530

Resposta: a) 14930; b) 48530

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