A Física dos espelhos

A Física dos Espelhos

Grande parte dos textos de óptica geométrica que estudaremos aqui terá como foco principal o estudo dos espelhos, por isso é importante, neste ponto, fazermos uma introdução sobre estes objetos fascinantes.

Na física, consideramos um espelho uma superfície muito lisa e com alto índice de reflexão da luz. Provavelmente foi nossa imagem na superfície da água que inspirou a construção dos primeiros espelhos, feitos de cobre e, com o tempo foram utilizados outros materiais para sua fabricação, como por exemplo, a prata.

Os espelhos e as imagens produzidas por ele sempre foram objetos de admiração do homem. Durante a Segunda Guerra Púnica, Arquimedes utilizou um grande jogo de espelhos planos, formados pelos escudos de bronze dos soldados, que refletiam a luz do Sol para um mesmo ponto de um navio, para incendiá-lo. Arquimedes também utilizou a física para criar outros aparatos que causavam terror entre os inimigos, veremos mais em outra ocasião.

Hoje em dia os espelhos estão por toda parte. O amigo Tainan Rocha nos ajuda a visualizar isso com mais uma de suas ilustrações. Lembrando que você pode acessar o blog do Tainan e conferir esta ilustração em alta resolução.

Na “Física dos espelhos” estudaremos as várias imagens que diferentes espelhos podem formar. Para iniciar este estudo, veremos agora quais são os diferentes tipos de espelhos que encontraremos nos próximos textos.

Espelho plano


Um espelho plano é uma superfície plana e muito lisa, com alto índice de reflexão da luz.

Representação do  espelho plano:

As hachuras representam a parte opaca do espelho plano.

Reflexão da luz:

Na reflexão, o ângulo de incidência (ângulo entre o raio de incidência e a reta normal) é igual ao ângulo de reflexão (ângulo formado pelo raio refletido e a reta normal).

Antes de iniciarmos o estudo das imagens no espelho plano, vamos pensar na seguinte situação: Você tem um espelho plano a sua frente, mais ou menos a uns 50 cm de você. Se você, observando sua imagem, aproxima lentamente uma caneta do espelho, o que acontece com a sua imagem e com a imagem da caneta? Você percebe que aproximando a caneta do espelho, a imagem da caneta também se aproxima do espelho? E a sua imagem continua no mesmo lugar? Pois é isso que acontece!

Percebemos, então, que na formação de imagens no espelho plano temos a noção de profundidade, logo, objetos mais próximos do espelho, terão imagens também mais próximas.
Com isso podemos fazer uma primeira representação de uma imagem no espelho plano.
Formação de imagem no espelho plano:

Na figura acima, o lápis está o objeto está a 1 metro do espelho, logo, sua imagem também deve estar a 1 metro do espelho. Note também que a imagem tem as mesmas dimensões que o objeto.

Vamos observar mais uma representação.

Note que no espelho, a imagem tem sua posição invertida na horizontal. Faça um teste e escreva seu nome em uma folha de papel e fique de frente para um espelho plano.

No nosso dia-a-dia encontramos uma aplicação prática para esta propriedade dos espelhos. Nos carros de socorro (ambulância) o nome é escrito ao contrário. Isso para, refletido pelos espelhos retrovisores dos carros à frente, o nome ser lido com facilidade.

Também é importante lembrar que os espelhos planos formam apenas imagens virtuais, ou seja, imagens que não podem ser projetadas e sua representação está sempre atrás do espelho.

Nota: Imagem real é toda imagem que pode ser projetada (em uma tela ou parede) e sua representação é feita na frente do espelho.




Espelho esférico convexo / Espelho esférico côncavo

Você já observou como é um holofote? Ele é constituído de um espelho esférico e a lâmpada está situada em um ponto tal que os raios refletem paralelos ao eixo principal do espelho. Vamos ver como que acontece essa reflexão. Considere uma esfera de raio R cortada por um plano longitudinal (fig. 3.1a). Dessa forma você obtém uma calota esférica. Quando a superfície interna for a refletora, tem-se um espelho esférico côncavo de raio R (fig. 3.1b), e quando a superfície externa for a refletora, tem-se um espelho esférico convexo de raio R.



Figura 3.1-
a) Obtenção da calota esférica
b) Espelho esférico côncavo
c) Espelho esférico convexo
Elementos de um espelho esférico




Os elementos de um espelho esférico (fig.3.2) são:

Figura 3.2 - Elementos de um espelho esférico.
a) côncavo
b) convexo




C centro de curvatura (centro da esfera que originou o espelho)

V vértice do espelho (pólo da calota)

Eixo principal do espelho reta que passa por CV

R raio de curvatura do espelho (raio da esfera que originou o espelho)

F foco do espelho

Para determinarmos a localização do foco do espelho basta considerarmos raios que incidam no espelho provenientes de um objeto situado no infinito. Estes raios são paralelos e, quando refletem (lei da reflexão), passam pelo foco. Observe que o foco para espelho esférico convexo (fig. 3.2b) é obtido na intersecção dos prolongamentos dos raios refletidos com o eixo principal.

Fisicamente o foco seria onde estaria localizada a imagem de um objeto situado no infinito.

Geometricamente podemos verificar que a distância focal (f =FV) é igual à metade do raio de curvatura (R = CV).

f = R / 2 3.1
Observe que a direção do raio de curvatura em qualquer ponto do espelho é a direção da normal (fig. 2.15).

Figura 3.3 Direção do raio de curvatura.

• 3.2 Construção de imagens em espelhos esféricos

São utilizados três raios básicos para a construção de imagens (fig. 3.4):

1) Raio que incide paralelo ao eixo principal, reflete passando pelo foco.

2) Raio que incide passando pelo foco, reflete paralelo ao eixo principal.

3) Raio que incide passando pelo centro de curvatura, reflete sobre si mesmo.

Figura 3.4 Construção de imagens.
a) espelho esférico côncavo
b) espelho esférico convexo

Na fig. 3.4a, a imagem II' foi obtida na intersecção dos raios refletidos e ela se forma na frente do espelho. Essa imagem é denominada imagem real e ela precisa de um anteparo para ser vista. Na tela do cinema a imagem que você vê é real (a tela está servindo como anteparo). As características da imagem fornecida neste caso pelo espelho côncavo para o objeto situado antes do centro de curvatura são:

Natureza: real

Orientação: invertida

Tamanho: menor que o do objeto

Posição: entre o centro de curvatura (C) e o foco (F)

Dependendo da posição do objeto na frente de um espelho côncavo, a imagem pode apresentar outras características, como veremos a seguir.

Na fig. 3.4b, a imagem II' foi obtida no prolongamento dos raios refletidos e ela se forma atrás do espelho. Esse tipo de imagem, como já vimos em espelhos planos, é uma imagem virtual. O espelho convexo é usado como espelho retrovisor ou como instrumento de observação em entradas de edifício porque aumenta o campo visual.

Independente da posição que o objeto se situa na frente do espelho convexo, as características da imagem fornecida de um objeto real são sempre as mesmas, que são:

Natureza: virtual

Orientação: direita

Tamanho: menor que o do objeto

Posição: entre o foco (F) e o vértice (V)

Vamos construir a imagem fornecida por um espelho côncavo colocando o objeto em outras posições:

• Objeto sobre o centro de curvatura (C) (fig. 3.5)

 

Figura 3.5 - Objeto sobre o centro de curvatura.

Natureza: real

Orientação: invertida

Tamanho: igual ao do objeto

Posição: sobre o centro de curvatura

• Objeto entre o centro de curvatura (C) e o foco (F) (fig. 3.6)

Figura 3.6 - Objeto entre o centro de curvatura (C) e foco (F)

Natureza: real

Orientação: invertida

Tamanho: maior que o objeto

Posição: antes do centro de curvatura

• Objeto sobre o foco (F) (fig.3.7)

Figura 3.7- Objeto sobre o foco (F)

Natureza: imprópria

Posição: no infinito

• Objeto entre o foco (F) e o vértice (V) (fig.3.8)

Figura 3.8 - Objeto entre o foco (F) e o vértice (V)

Natureza: virtual

Orientação: direita

Tamanho: maior que o do objeto

Posição: depois do vértice

Observação: Nesta situação o espelho esférico côncavo funciona como espelho de aumento.

3.3 Determinação analítica das características das imagens

• Equação de Gauss

A equação de Gauss (Carl Friedrich Gauss - fig. 3.9) relaciona a distância objeto (p), a distância imagem (q) e a distância focal (f). É dada pela expressão:

1/p + 1/q = 1/f

Equação de Gauss

Figura 3.9 - Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss (fig. 3.9), astrônomo, matemático e físico alemão (1777-1855). Foi reconhecido como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Em física ocupou-se da ótica, de eletricidade e principalmente de magnetismo, cuja teoria matemática formulou em 1839.


Vamos demonstrar a equação de Gauss:

Figura 3.10 - Construção da imagem fornecida por um espelho esférico côncavo

Da fig 3.10 temos:

OV = p distância objeto

IV = q distância imagem

FV = f distância focal

IF = q - f

OO' tamanho objeto

II' tamanho imagem

Os triângulos O'OV e I'I V (fig.3.10) são semelhantes porque possuem dois ângulos iguais. Como são semelhantes, os seus lados são proporcionais:

II' / OO'= q / p, que é a equação da ampliação:


A = - II' / OO'= - q / p 3.2
Nas condições de nitidez de Gauss, que são válidas para espelhos de pequena abertura (6o), a parte curva DV do espelho se aproxima de uma superfície plana.

OO' = DV

Os triângulos FCI' e FVD são semelhantes porque possuem ângulos opostos pelo vértice iguais e ângulos que são retos. Da semelhança dos triângulos temos que seus lados são proporcionais:

II' / OO' = (q - f) / f

Comparando com a equação da ampliação (3.2), obtemos:

(q - f) / f = q / f

q p - f p = f q

Dividindo os dois membros por (p q f), obtemos:

1/f - 1/q = 1/p

Obtendo finalmente a equação de Gauss: 1/p + 1/q = 1/f 3.3


Referencial de Gauss - Convenção
O referencial de Gauss será o vértice do espelho ou seja as distâncias imagem, objeto e focal serão medidas a partir do vértice.

Convenção: As distâncias medidas a favor da luz incidente serão positivas e contra negativas. Esta convenção é válida para espelhos esféricos côncavos e convexos (fig. 3.11).

• Figura 3.11 - Convenção:

a) espelhos côncavos
b espelhos convexos

De uma forma geral temos:

- Raios de curvatura e distâncias focais de espelho côncavo são positivos e de espelhos convexos negativos.

- Distâncias de objetos e imagens reais são positivas e de objetos e imagens virtuais negativas.

- Imagem direita é positiva e invertida negativa.